60 Millions de Consommateurs [FR], Issue 503 (April 2015) by PDF

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Il est d’usage d’utiliser X, Y, . . pour noter des variables aléatoires. Pour l’essentiel, on se contentera ici de variables à valeurs dans (R, B(R)) ou (Rd , B(Rd )). Elles seront appelées variables aléatoires réelles ou vectorielles. s. s. s’il n’y a pas d’ambiguïté sur P . 6. (i) Soit Ω = [ 0, 1 ], A = B([ 0, 1 ]) la tribu borélienne de [ 0, 1 ] et soit P (A) = λ(A), A ∈ B(R), la mesure de Lebesgue sur [ 0, 1 ]. L’application identité de (Ω, A) dans (Ω, A) est mesurable. C’est donc une variable aléatoire.

Cette nécessité conduit naturellement à prendre une définition de l’intégrale utilisant l’approximation des fonctions par des limites croissantes. Mais l’on veut aussi que l’intégrale coïncide avec ce que l’intuition attend lorsque l’on intègre des fonctions étagées. 1. 1. Si A ∈ A, la fonction indicatrice de A, f (ω) = ½A (ω), est mesurable. Son intégrale par rapport à µ, notée f dµ ou Ω f (ω) dµ(ω), est définie comme étant µ(A). Plus généralement, si B ∈ A, l’intégrale de f = ½A sur B par rapport à µ, notée B f dµ ou B f (ω) dµ(ω), est définie par µ(A ∩ B), ou, de façon équivalente, par ½B f dµ.

Une courbe paramétrée α(t) = (x(t), y(t)), 0 ≤ t ≤ 1, avec x, y dérivables), celle-ci peut s’approximer par des segments. En utilisant le théorème de convergence dominée, on peut montrer que 1 card(D ∩ C) dν(D) = longueur de C . 2 Ce résultat, loin d’être une abstraction, est tout à fait concret et utile. Il permet par exemple de mesurer la longueur d’une chaîne plane de molécules. e. de sup0≤s,t≤1 |α(s) − α(t)|) et en supposant que C est translaté de sorte que α(0) = 0 par exemple. En approximant l’intégrale par une somme de Riemann, on voit que pour une subdivision 33 ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ “barbe” — 2007/1/8 — 10:41 — page 34 — #42 ✐ ✐ Chapitre II.

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by Michael
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